Question

如图，在长方体ABCD-A₁C₁B₁D₁中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱AA₁=2，E为BC中点，F为CD中点，G为BB₁上一个动点．
（1）确定G点的位置，使得D₁E⊥平面AFG；
（2）当D₁E⊥平面AFG时，求二面角G-AF-E的平面角余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意建立空间直角坐标系，求出已知点的坐标，设出G点的坐标，然后由D₁E垂直于平面AFG内的两条相交直线列式求出G的坐标，则G点的位置确定；
（2）由D₁E⊥平面AFG得到G的坐标，然后直接利用平面法向量求二面角G-AF-E的平面角余弦值．

解答：解：（1）如图，
分别以DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2）．
因为E为BC中点，F为CD中点，所以E(

1

2

，1，0)，F(0，

1

2

，0)．
由题意得D₁E⊥AF，D₁E⊥AG，设G（1，1，t）．
又

D1E

=(

1

2

，1，-2)，

AF

=(-1，

1

2

，0) ，

AG

=(0，1，t)．
则由

D1E • AF =0 D1E • AG =0

，得1-2t=0，t=

1

2

．
∴BG=

1

2

．
则G为BB₁的四等分点；
（2）由题意知，平面AFE的一个法向量为

m

=(0，0，1)，
设平面AFG的法向量

n

=(x，y，z)．
则

AF • n =0 AG • n =0

，得

-x+ 1 2 y=0 y+ 1 2 z=0

，取x=-1，得

n

=(-1，-2，4)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

4 21

21

．
∴二面角G-AF-E的平面角余弦值为

4 21

21

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用平面法向量求二面角的平面角的大小，建立正确的空间右手系是解答该类问题的关键，是中档题．