Question

已知函数f（x）=

1

a

x²+lnx（其中a≠0）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜-

1

2

恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，当a＞0时f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，得到f（x）在（0，+∞）上递增，当a＜0时，令导函数大于0求出递增区间；导函数小于0求出递减区间．
（2）利用（1）的单调性，求出函数f（x）的极值，进一步求出函数的最值，得到参数a的范围．

解答：解：（1）因为函数f（x）=

1

a

x²+lnx，
则f′(x)=

2

a

x+

1

x

=

2x2+a

ax

(x＞0)…（2分）
①当a＞0时f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，

②当a＜0时，令f′（x）=0，x=

-2a

2

x∈(0，

-2a

2

)时，f′（x）＞0，f（x）  为增函数，
x∈(

-2a

2

，+∞)时，f′（x）＜0，f（x） 为减函数
综上，a＞0 时，f（x） 增区间为（0，+∞）…（4分）
a＜0 时，f（x）的增区间为(0，

-2a

2

)，减区间(

-2a

2

，+∞)…（6分）
（2）由（1）知a＞0 时，在f（x）在（0，+∞）递增，
且x=1时，f（1）

1

a

＞0，
则f(1)＞-

1

2

∴f(x)＜-

1

2

不恒成立，
故a＜0 …（8分）
又f（x）的极大值即f（x）最大f(

-2a

2

)=

1

a

(

-2a

2

)2+ln

-2a

2

因为f(x)＜-

1

2

只须f(x)max＜-

1

2

…（10分）
∴ln

-2a

2

＜0，即0＜

-2a

2

＜ 1，
∴-2＜a＜0
即a的取值范围是（-2，0）…（12分）

点评：利用导数求函数的在区间上的最值，应该先求出导函数，判断出导函数的符号得到函数的单调性，求出函数的极值，同时求出函数的区间端点值，选出最值．