Question

设{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，记M_n=a_b1+a_b2+…+a_bn，则{M_n}中不超过2009的项的个数为（　　）

A．8

B．9

C．10

D．11

Answer 1

分析：由题设知a_n=n+1，b_n=2^n-1，所以abn =bn+1=2n-1+1，由M_n=a_b1+a_b2+…+a_bn=a1+a2+ a4+…+a2n-1=2ⁿ+n-1和M_n≤2009，得2ⁿ+n-1≤2009，由此能求出{M_n}中不超过2009的项的个数．

解答：解：∵{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n+1，
∵{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n=2^n-1，
∴M_n=a_b1+a_b2+…+a_bn
=a1+a2+ a4+…+a2n-1
=（1+1）+（2+1）+（4+1）+…+（2^n-1+1）
=（1+2+4+…+2^n-1）+n
=

1-2n

1-2

+n
=2ⁿ+n-1，
∵M_n≤2009，
∴2ⁿ+n-1≤2009，
解得n≤10．
所以，{M_n}中不超过2009的项的个数为10．
故选C．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．