Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B_lC_l中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点.

(Ⅰ)求直线BE与A₁C所成的角；

(Ⅱ)在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出||；若不存在，说明理由.

Answer 1

答案：解法一：(Ⅰ)延长B₁C₁至M,连CM、A₁M  则CM∥BE,

∴∠A₁CM为直线BE与AC所成的角 

∵CM=BC₁=a,A₁C=a

在△A₁C₁M中,A₁M²=(2+4+2××2×)a²=10a² 

∴cos∠A₁CM= 

∴直线BE与A₁C所成的角为arccos 

(Ⅱ)假设存在点F,∵B₁D上平面A₁CC₁,CF面A₁CC₁,∴CF⊥B₁D 

要使CF⊥平面B₁DF,只要CF⊥B₁F. 

不妨设AF=x,则A₁F=3a-x,B₁F²=(3a-x)²+2a²,

CF²=x²+4a², B₁C²=11a² 

∴CF⊥B₁F,∴B₁C²=CF²十B₁F²,∴11a²=(3a-x)²+2a²+x²+4a² 

∴x²-3ax+2a²=0  ∴x=a或x=2a 

故当=a或2a时,CF⊥平面B₁DF. 

解法二：(Ⅰ)以B为原点,如图建立空间直角坐标系

∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=a. 

∴B(0,0,0),C(0,a,0),A(a,0,0),A₁(a,0,3a),C₁(0,a,3a),B₁(0,0,3a).

∴D(a,a,3a),E(0,a,a),∴=(,3a),=(0,a,a).

∴=,=a,

∴=0-a²+a²=a²,

∴cosθ=.

故BE与A₁C所成的角为arccos. 

(Ⅱ)假设存在点F,要使CF⊥平面B₁DF,只要且

不妨设AF=b,则F(a,0,b),=(a,a,b),

=(a,0,b-3a),=(a,a,0),

=a²-a²=0,∴恒成立.  

=2a²+b(b-3a)=0b=a或b=2a, 

故当=a或2a时,CF⊥平面B₁DF.