Question

9．已知π＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$＜α-β＜0，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数的基本关系可得cos（α+β）和sin（α-β），代入sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）化简可得．

解答 解：∵π＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{4}$＜α-β＜0，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，sin（α-β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=-$\frac{5}{13}$，
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=$-\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$+$（-\frac{4}{5}）×（-\frac{5}{13}）$=-$\frac{16}{65}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．