Question

（文科）如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M是棱A₁B₁的中点，N是棱A₁D₁的中点．
（1）求异面直线AN与BM所成的角；
（2）求三棱锥M-DBB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）棱B₁C₁的中点为G，连接BG、GM、GN，先利用平行公理证明ABGN为平行四边形，再利用异面直线所成的角的定义证明∠MBG是异面直线AN与BM所成的角，最后在三角形中计算此角即可；
（2）先利用线面垂直的判定定理证明MH⊥平面DBB₁D₁，从而MH为三棱锥M-DBB₁的高，再利用三棱锥的体积计算公式计算其体积即可

解答：解：（1）记棱B₁C₁的中点为G，连接BG、GM、GN，GM与B₁D₁的交点为H，
连接BH，如图所示．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，G、N是中点，
∴GN∥A₁B₁∥AB，GN=A₁B₁=AB，即ABGN为平行四边形．
∴BG∥AN，
∴∠MBG是异面直线AN与BM所成的角．
在三角形MBG中，BM=BG=

5

2

a，MG=

2

2

a．
∴cos∠MBG=

( 5 2 a)2+( 5 2 a)2-( 2 2 a)2

2 5 2 a• 5 2 a

=

4

5

异面直线AN与BM所成角为arccos

4

5

（2）∵B₁H是等腰三角形MB₁G的顶角平分线
∴BH⊥MH．
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，MH?平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥MH．
∴MH⊥平面DBB₁D₁，即MH为三棱锥M-DBB₁的高．
∴VM-DBB1=

1

3

•

1

2

•DB•BB1•MH=

1

6

•

2

a•a•

2

4

a=

1

12

a³

点评：本题主要考查了异面直线所成的角的定义及其作法、证法、算法，椎体的体积计算公式及其应用，属基础题