Question

9．15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班级中去，求：
（1）每个班级各分配一名优秀生的概率；
（2）3名优秀生分配到同一个班级的概率．

Answer 1

分析 （1）每班分配到1名优秀生和4名非优秀生，先求出将15名新生平均分配到3个班的不同分法．再求出每班一名优秀生的分配方法，由此能求出每班各分配一名优秀生的概率．
（2）先求出将3名优秀生分配到同一个班级去的分法种数，再由分步乘法计数原理求出将3名优秀生分配到同一个班级的不同分法，由此能求出3名优秀生分配到同一个班级的概率．

解答 解：（1）每班分配到1名优秀生和4名非优秀生，
将15名新生平均分配到3个班共有${C}_{15}^{5}{C}_{10}^{5}{C}_{5}^{5}$种不同分法．
将3名优秀生分到3个班有${A}_{3}^{3}$种分法，
将12名非优秀生平均分到三个班有${C}_{12}^{4}{C}_{8}^{4}{C}_{4}^{4}$种分法，
所以每班一名优秀生的分配方法有${C}_{12}^{4}{C}_{8}^{4}{C}_{4}^{4}{A}_{3}^{3}$，故每班各分配一名优秀生的概率是P₁=$\frac{{C}_{12}^{4}{C}_{8}^{4}{C}_{4}^{4}{A}_{3}^{3}}{{C}_{15}^{5}{C}_{10}^{5}{C}_{5}^{5}}$=$\frac{25}{91}$．
（2）将3名优秀生分配到同一个班级去，有${C}_{3}^{1}$种分法，
这个班还少2人，有${C}_{12}^{2}$种选法，剩下的10个人平均分到两个班有${C}_{10}^{5}$种分法，
由分步乘法计数原理将3名优秀生分配到同一个班级共有${C}_{3}^{1}$•${C}_{12}^{2}$•${C}_{10}^{5}$种分法，
故所求概率P₂=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{12}^{2}{C}_{10}^{5}}{{C}_{15}^{5}{C}_{10}^{5}{C}_{5}^{5}}$=$\frac{6}{91}$．

点评 本题考查等可能事件的概率，需求出各事件所包含的基本事件数．这是一个分配问题，是典型的组合应用题，此题充分反映了排列、组合与概率的内在联系．