Question

在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2，E、G分别为PC、PA的中点．
（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可证BC⊥平面PAB，从而证得PA⊥BC，又Rt△PAB为等腰直角三角形，故BG⊥PA，从而得PA⊥平面BCG，结论可证；
（2）以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，可求得E点，N点的坐标，从而得=（0，，1），=（x，-x，-2），由空间向量的坐标运算=0即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PB，
又AB⊥BC，AB∩BP=B，
∴BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．①
又AB=PB=2，△PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的中点，
∴BG⊥PA，②又BG∩BC=B，
∴PA⊥平面BCG，PA?平面PAC，
∴平面BCG⊥平面PAC；
（Ⅱ）以点B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，，1），
设存在点N∈AC，使PN⊥BE，点N的坐标设为：N（x，y，0）
则：得=（0，，1），=（x，y，-2）
由相似三角形得：，即，
∴y=2-x．
∴=（x，2-x，-2）
又PN⊥BE，
∴•=0．
∴0×x+×（2-x）+1×（-2）=0，
∴x=∈[0，2]
故存在点N∈AC，使PN⊥BE．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间中直线与直线之间的位置关系，突出考查向量法的应用，属于中档题．