Question

（2012•洛阳模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．
（1）证明：CD⊥平面POC；
（2）求二面角C-PD-O的余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O-PD-C的余弦值；

解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，
∴PO⊥AB
∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO?侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8
∴OC²+CD²=OD²，
∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
解：（2）如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P（0，0，2

2

），D（-1，3，0），C（1，1，0）
∴

OP

=（0，0，2

2

），

OD

=（-1，3，0），

CP

=（-1，-1，2

2

），

CD

=（-2，2，0）
假设平面OPD的一个法向量为

m

=（x，y，z），平面PCD的法向量为

n

=（a，b，c），则
由

m • OP =0 m • OD =0

可得

2 2 z=0 -x+3y=0

，令x=3，得y=1，z=0，则

m

=（3，1，0），
由

n • CP =0 n • CD =0

可得

-a-b+2 2 c=0 -2a+2b=0

，令a=2，得b=2，c=

2

，
即

n

=（2，2，

2

）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

8

10

=

4

5

故二面角O-PD-C的余弦值为

4

5

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．