题目内容

【题目】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个?

(2)试写出模为的所有向量.

(3)试写出与相等的所有向量.

(4)试写出的相反向量.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析。

【解析】

（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为，即可写出所求向量（3）根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.

(1)模为1的向量有,共8个单位向量.

(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为

.

(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.

(4)向量的相反向量为.

练习册系列答案
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A.7
B.8
C.9
D.10

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附:≈12.2.

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（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1 ， b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1 ．

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