题目内容

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足 $数学公式$
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）结果猜想出数列{a_n}的通项公式（不用证明）；
（3）求S_n．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，
令n=1得 $\text{[math]}$ ?a₁=1，
令n=2得 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，
令n=3得 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，
同样地，可求得 $\text{[math]}$ ．
故a₁=1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（6分）
（2）根据（1）猜想： $\text{[math]}$ …（10分）
（3）由（2）可得：
S_n=a₁+a₂+…+a_n= $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₁，a₂，a₃．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式： $\text{[math]}$ ，
（3）由（2）可得：S_n=a₁+a₂+…+a_n= $\text{[math]}$ 利用回头消去法化简即得．
点评：本小题主要考查归纳推理、数列递推关系式的应用、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．

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已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求证：a_n≤2ⁿ-1．

已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．
（2）若a=

且关于x的方程f（x）=-

x2+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*．求证：a_n≤2ⁿ-1．

已知函数f（x）=

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列{a_n}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．

已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求证：a_n≤2ⁿ-1．

（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若

且关于x的方程

在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*用数学归纳法证明：a_n≤2ⁿ-1