Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂与a₄的等比中项为，a₂与a₃的等差中项为．

(Ⅰ)求{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：(Ⅰ)依题意得：a₂a₄=()²，

又∵=a₂a₄,a₃＞0.∴a₃=

∵a₂+a₃=2×，∴a₂=，

故公比q=,a₁=1. a_n=a₁q^n-1=2^1-n，

即{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^1-n

(Ⅱ)∵b_n+1=b_n+a_n(n=1,2,3,…),

∴b_n+1-b_n=()^n-1

得b₂- b₁=1，

b₃-b₂=，

b₄-b₃=（）²，

…,

b_n-b_n-1=()^n-2

各式相加得：b_n- b₁=1++()²+()³+…+（）^n-2

==2-2（）^n-1

又∵b₁=1，∴b_n=3-()^n-2