Question

在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a(x-3)2+

b

x-1

，（a，b为常数）；当3＜x≤5时，y=-70x+490．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大（x精确但0.01元/千克）．

Answer 1

分析：（1）利用销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克，代入函数解析式，可求a，b的值，从而可确定y关于x的函数解析式；
（2）分类求出函数的最值，比较结果，即可得到店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大值．

解答：解：（1）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以

b 2 =150 a+b=700

，解得a=400，b=300
∴每日的销售量y=

400(x-3)2+ 300 x-1 (1＜x≤3) -70x+490(3＜x≤5)

；…4'
（2）由（1）知，当1＜x≤3时，每日销售利润f(x)=[400(x-3)2+

300

x-1

](x-1)=400（x-3）²（x-1）+300=400（x³-7x²+15x-9）+300（1＜x≤3）
∴f'（x）=400（3x²-14x+15），∴当x=

5

3

，或x=3时，f'（x）=0
当x∈(1，

5

3

)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈(

5

3

，3)时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴x=

5

3

是函数f（x）在（1，3]上的唯一极大值点，f(

5

3

)=400×

32

27

+300＞700；…8'
当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（-70x+490）（x-1）=-70（x²-8x+7）
∴f（x）在x=4有最大值，且f（4）=630＜f(

5

3

)…11'
综上，销售价格x=

5

3

≈1.67元/千克时，每日利润最大…12'

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．