Question

某政府设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间（分钟）	1	2	3
频率	0.2	0.4	0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待5分钟开始办理业务的概率；
（2）X表示到第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待5分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为2分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为2分钟，由此可求概率；
（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．

解答：解：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：

y	1	2	3
p	0.2	0.4	0.4

A表示事件“第三个顾客恰好等待5分钟开始办理业务”，则事件A对应两种情形：
①第一个顾客办理业务所需时间为2分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为2分钟．
所以 P（A）=0.4×0.4+0.4×0.4=0.32．
（2）X所有可能的取值为：0，1，2．
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.4；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.2×0.8+0.4=0.56；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.2×0.2=0.04．
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	0.4	0.56	0.04

EX=0×0.4+1×0.56+2×0.04=0.64．

点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义．