Question

已知函数f(x)=2lnx+

1-x2

x

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）利用1）的结论求解不等式2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|．并利用不等式结论比较ln²（1+x）与

x2

1+x

的大小．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1对任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

分析：先求函数的定义域
（1）对函数求导，利用导数在区间（0，+∞）的符号判断函数的单调性．
（2）根据题目中式子的结构，结合（1）中单调性的结论可考虑讨论①x≥1，f（x）≤f（1）=0②0＜x＜1，f（x）＞f（1）=0两种情况对原不等式进行求解．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1对任意n∈N^*都成立?a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n恒成立构造函数g（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，利用导数判断该函数的单调性，从而求解函数的最小值，即可求解a的值

解答：解：（1）f(x)=2lnx+

1-x2

x

，定义域x|x＞0
f′(x)=

2

x

+

-2x×x-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

≤0
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）对2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|
当x≥1时，原不等式变为2lnx≤(1+

1

x

)•(x-1)=

x2-1

x

由（1）结论，x≥1时，f（x）≤f（1）=0，2lnx+

1-x2

x

≤0即2lnx≤

1-x2

x

成立
当0＜x≤1时，原不等式变为-2lnx≤(1+

1

x

)•(1-x)，即2lnx≥

x2-1

x

由（1）结论0＜x≤1时，f（x）≥f（1）=0，
综上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0时，2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|，即|lnx2|≤|

x2-1

x

|，
∴ln2x2≤

(x2-1)2

x2

用

x+1

（其中x＞-1）代入上式中的x，可得ln2(x+1)≤

x2

x+1

（3）结论：a的最大值为

1

ln2

-1
∵n∈N^*，∴ln(1+

1

n

)＞0∵(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，∴a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n
取x=

1

n

，则x∈（0，1]，∴a≤

1

ln(1+x)

-

1

x

设g(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，g′(x)=

ln2(x+1)- x2 x+1

x2ln2(1+x)

≤0
∵g（x）递减，
∴x=1时g最小=g(1)=

1

ln2

-1
∴a的最大值为

1

ln2

-1．

点评：本题主要考查了利用导数判断对数函数的单调性，利用单调性解对数不等式，函数的恒成立问题的求解，综合考查了函数的知识的运用，要求考生具备综合解决问题的能力．