Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．
（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量

AF

内积为0即可得到线面垂直的条件．
（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．

解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），
F（1，2，1），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0）．
（1）易得

EF

=（0，

1

2

，1），

A1D

=（0，2，-4）．
于是cos＜

EF

，

A1D

＞=

EF • A1D

| EF || A1D |

=-

3

5

．
所以异面直线EF与A₁D所成角的余弦值为

3

5

．
（2）证明：连接ED，易知

AF

=（1，2，1），

EA1

=（-1，-

3

2

，4），

ED

=（-1，

1

2

，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0．
因此，AF⊥EA₁，AF⊥ED．
又EA₁∩ED=E，所以AF⊥平面A₁ED．
（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则

u •  EF =0 u • ED =0

即

1 2 y+z=0 -x+ 1 2 y=0

不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）．
由（2）可知，

AF

为平面A₁ED的一个法向量．
于是cos＜u，

AF

＞=

u • AF

| u || AF |

=

2

3

，从而sin＜u，

AF

＞=

5

3

．
二面角A₁-ED-F的正弦值是

5

3

点评：本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同．