Question

已知函数f（x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1．（

π

4

≤x≤

π

2

）
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先化简函数为f（x）=4sin（2x-

π

3

）+1，然后由x的范围得出2x-

π

3

的范围，进而由正弦函数的特点求得最值；
（2）首先化简绝对值得出m-2＜f（x）＜m+2，再由恒成立得出

m-2＜3 m+2＞5

，解出m即可．

解答：解：（1）∵f（x）=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

cos2x-1=2sin2x-2

3

cos2x+1=4sin（2x-

π

3

）+1
又∵

π

4

≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

即3≤4sin（2x-

π

3

）+1≤5
∴y_max=5，y_min=3
（2）∵|f（x）-m|＜2
m-2＜f（x）＜m+2
∴

m-2＜3 m+2＞5

  解得3＜m＜5
即所求的m的取值范围是（3，5）
当m+3＜0即m＜-3时，x∈R

点评：此题考查了二倍角公式、两角和与差公式、正弦函数的特点以及恒成立问题，正确化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．