题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点（不是顶点），△PF1F2内一点G满足3
PG
=
PF1
+
PF2
，其中
OG
=(
1
9
a，
6
9
a)．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若椭圆C短轴长为2
6
，过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），求△F1AB面积的最大值．
分析：（I）根据3
PG
=
PF1
+
PF2
，可得G是△PF1F2的重心，利用三角形的重心坐标公式，确定G与P坐标之间的关系，利用∵为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点，即可求得椭圆C的离心率；
（II）先求出椭圆方程为
x2
8
+
y2
6
=1，假设直线l：x=my+
2
，两者联立，利用韦达定理，可表示出三角形的面积，再借助于函数的单调性，即可求得△F1AB面积的最大值．
解答：解：（I）∵
OG
=(
1
9
a，
6
9
a)，
∴G(
1
9
a，
6
9
a)
∵3
PG
=
PF1
+
PF2
，
∴G是△PF1F2的重心
设P（x0，y0），则有
1
9
a=
x0
3
6
9
a=
y0
3
，∴
x0=
1
3
a
y0=
6
3
a

∵P为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一点
∴
a2
9a2
+
6a2
9b2
=1
∴3a2=4b2
∵b2=a2-c2
∴4c2=a2
∴e=
1
2

∴椭圆C的离心率为
1
2
；
（II）∵若椭圆C短轴长为2
6
，∴b=
6

∵4c2=a2，∴4（a2-b2）=a2
∴a2=8，∴c=
2

∴椭圆方程为
x2
8
+
y2
6
=1
设点A（x1，y1），B（x2，y2），l：x=my+
2

由
x2
8
+
y2
6
=1
x=my+
2
，消去x，可得(3m2+4)y2+6
2
my-18=0
∴
y1+y2=-
6
2
m
3m2+4
y1y2=-
18
3m2+4

∴S△F1AB=
1
2
|F1F2||y2-y1|=
24
m2+1
3m2+4
=
24
3
m2+1
 +
1
m2+1
≤
24
4
=6
当且仅当m=0时取等号，
∴△F1AB面积的最大值为6．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查三角形面积的计算，解题的关键是利用向量知识，确定几何量的关系，利用直线与椭圆的联立，借助于韦达定理，确定三角形的面积．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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