Question

【题目】设函数.

（1）当时，若在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）若在，处取得极值，且方程在上有唯一解时，的取值范围为或，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2).

【解析】

(1)当时,函数,其导函数为通过若在上是单调函数,对的讨论,即可求得实数的取值范围;

(2)先求出导函数 ,由在处取得极值，可得.代入解得,此时导函数可化为由,可知的单调性可判断是在上的极小值,是在上的极大值,要使方程在上有唯一解时，的取值范围为或只有可能,即求的最大值只需求的最大值即可.由. 令,可知,则有构造,利用导数研究其最值即可.

(1)当时,函数,其导函数为

当时,，因为所以,所以在上单调递增；

当时,，,则在上单调递增.

当时，设,其对称轴为,若在上是单调函数，只能使恒成立,则需满足解得，此时在上单调递减.

综上得的取值范围是

(2) .

在处取得极值，.

即,解得

所以可得令，解得，令，解得或.

所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.

所以是在上的极小值,是在上的极大值.

若使方程只有唯一解的的取值范围为或,结合函数单调性可得只有可能,所以求的最大值只需求的最大值即可.

又.

所以.

记则,则.

令，其导函数为

当时,,故单调递增；当时,,故单调递减.

所以的最大值为.所以的最大值为.