Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁上的点、F为DB的中点．
（Ⅰ）求直线B₁F与平面CDD₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）若直线EF∥平面ABC₁D₁，试确定点E的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求B₁F与平面CDD₁C₁所成角，由平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁，可转化为直线B₁F与平面CDD₁C₁所成角，由F为DB的中点考虑取AB中点P，由已知可得FP⊥AB，FP⊥BB₁，故FP⊥平面ABB₁A₁，B₁F与平面ABB₁A₁所成的角即为∠FB₁P，在Rt△FPB₁中求解即可
（Ⅱ）由题意可得平面BDD₁B₁过EF与平面ABC₁D₁交于BD₁，由EF∥平面ABC₁D₁，根据线面平行的性质定理可得可得EF∥BD₁，由F为DB的中点可得得E也必须为DD₁的中点

解答：解：（Ⅰ）∵平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁
∴直线B₁F与平面CDD₁C₁所成角等于直线FB₁与平面ABB₁A₁所成的角（2分）
取AB中点P，连接FP和B₁P
由已知可得FP⊥AB，FP⊥BB₁，故FP⊥平面ABB₁A₁
∴B₁F与平面ABB₁A₁所成的角即为∠FB₁P（4分）
在Rt△FPB₁中，sin∠FB1P=

FP

FB1

=

6

6

即B₁F与平面CDD₁C₁所成角的正弦值为

6

6

．（6分）
（Ⅱ）连接BD₁，则平面BDD₁B₁过EF与平面ABC₁D₁交于BD₁
由EF∥平面ABC₁D₁可得EF∥BD₁
又因为F为DB的中点
故得E也必须为DD₁的中点．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面所成角的求解，解决此类问题的关键性是要找出已知平面的垂线，把所求的线面角转化为线与线所成的角，在直角三角形中求解；