Question

【题目】已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．

（1）求实数的取值范围；

（2）记函数的两个零点为，，证明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意得可求，再根据导函数零点确定函数单调性变化规律：函数在上递增，在上递减，结合函数在端点处变化趋势，确定函数有两个零点的条件：，（2）本题实质为极点偏移，先转化不等式：为，由，再转化为，由解得，从而转化为，即．令,转化为，然后构造函数，只需证明其最小值大于零．利用导数可得在单调递增，因此

试题解析：（1），

由，且当时，，当时，，

所以在时取得极值，所以，

所以，，，函数在上递增，在上递减，，

时；时，，有两个零点，，

故，；

（2）不妨设，，由题意知，

则，，

欲证，只需证明：，只需证明：，

即证：，

即证，设，则只需证明：，

也就是证明：．

记，，∴，

∴在单调递增，

∴，所以原不等式成立，故得证．