Question

设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos²x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）配凑法：f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，由此可得f（x）；
（Ⅱ）先验证当时方程是否有解，再把方程化为2a=，此时只需求出的值域即可，分类讨论：①当时，②当时，可求出其值域．
解答：解：（Ⅰ）f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，
所以f（x）=x²+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①当时，，不成立．
②当时，，
令，则，，，
因为函数在上单增，所以．
③当时，，
令，则，，，
因为函数g（t）=t-+3在上单增，所以2a≤g（）=0⇒a≤0．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．
点评：本题考查函数解析式的求解及函数零点问题，考查学生分析问题解决问题的能力．