Question

如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且E、O分别为PC、BD的中点．

求证：（1）EO∥平面PAD；

（2）平面PDC⊥平面PAD．

 

Answer 1

解析:

（1）证法一：连接AC．

因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点．

又因为点E为PC的中点，所以EO//PA．

因为PA??平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．

证法二：取DC中点F，连接EF、OF．

因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF//PD，OF//BC．

在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD．

因为OF平面PAD，AD??平面PAD，所以OF//平面PAD．

同理，EF//平面PAD．

因为OF∩EF＝F，OF、EF??平面EOF，所以平面EOF//平面PAD．

因为EO??平面OEF，所以EO∥平面PAD．

证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN．

因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EM,\d\fo(＝CD，ON,\d\fo(＝AB．

在矩形ABCD中，AB,\d\fo(＝CD，所以EM,\d\fo(＝ON．

所以四边形EMNO是平行四边形．所以EO//MN．

因为MN??平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．

（2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD??平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD．

又因为CD??平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．

证法二：在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F．

因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD．

因为CD??平面ABCD，所以PF⊥CD．

因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．

因为PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．

又因为CD??平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．