Question

如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=4，AA₁=2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）求异面直线CD₁与B₁E所成角的余弦值．
（2）求二面角D-EF-B₁的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出异面直线CD₁与B₁E的方向向量，代入向量夹角公式可得异面直线CD₁与B₁E所成角的余弦值．
（2）分别求出平面B₁EF的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夹角公式可得钝二面角D-EF-B₁的大小．

解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz
∴D（0，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），
E（4，2，0），F（2，4，0），B₁（4，4，2）
（1）∵

CD1

=(0，-4，2)，

B1E

=(0，-2，-2)，
|

CD1

|=2

5

，|

B1E

|=2

2

设异面直线CD₁与B₁E所成角为θ
∴cosθ=|cos＜

CD1

，

B1E

＞|=

4

2 5 •2 2

=

10

10

∴CD₁与B₁E所成角的余弦值为

10

10

…（4分）
（2）设

n

=(x，y，z)是平面B₁EF的法向量．
∴

n ⊥ EF n ⊥ B1E

∴

(x，y，z)•(-2，2，0)=0 (x，y，z)•(0，-2，-2)=0

∴

-2x+2y=0 -2y-2z=0

令y=1，可得

n

=(1，1，-1)
又∵DD₁⊥平面EDF．
∴

m

=(0，0，1)是平面EDF的法向量．
∴|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

-1

3

|=

3

3

∵D-EF-B₁是钝角
∴二面角D-EF-B₁的大小为π-arccos

3

3

…（8分）

点评：本题以长方体为载体考查了用空间向量求平面间的夹角及用空间向量求直线间夹角等知识点，难度中等．（2）中易忽略二面角D-EF-B₁为钝二面角而错解为arccos

3

3

．