Question

（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）直线与平面所成的角是．

【解析】方法一：

（I）证明：因为，是的中点，

所以．

又平面，

所以．

（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．

是直线和平面所成的角．

因为平面，

所以，

又因为平面，

所以，

则平面，因此．

设，，

在直角梯形中，

，是的中点，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以．

在中，，

所以，

故与平面所成的角是．

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．

（I）证明：因为，，

所以，

故．

（II）解：设向量与平面垂直，则，，

即，．

因为，，

所以，，

即，

，

直线与平面所成的角是与夹角的余角，

所以，

因此直线与平面所成的角是．