Question

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，P为双曲线C上的任意一点．
（1）写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．

Answer 1

分析：（1）由双曲线C的方程

x2

4

-y²=1即可写出双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
（2）设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，求得点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离计算即可．

解答：解：（1）依题意，双曲线的两焦点F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．
（2）设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，该点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离分别是

|x1-2y1|

5

和

|x1+2y1|

5

，
∵P（x₁，y₁）为双曲线C上的任意一点，
∴x12-4y12=4，
∴它们的乘积是

|x1-2y1|

5

•

|x1+2y1|

5

=

x12-4y12

5

=

4

5

．
∴点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．

点评：本题考查双曲线标准方程与的简单性质，考查点到直线间的距离公式的应用，属于中档题．