Question

如果直线2ax-by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m^x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的内部或圆上，那么

b

a

的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  4

  ，

  4

  3

  ）
• B、（

  3

  4

  ，

  4

  3

  ]
• C、[

  3

  4

  ，

  4

  3

  ]
• D、（

  3

  4

  ，

  4

  3

  ）

Answer 1

分析：由幂函数求出定点坐标，把定点坐标代入直线和圆的方程，求出a的取值范围，从而求出

b

a

的取值范围．

解答：解：∵当x+1=0，即x=-1时，y=f（x）=m^x+1+1=1+1=2，
∴函数f（x）的图象恒过一个定点（-1，2）；
又直线2ax-by+14=0过定点（-1，2），
∴a+b=7①；
又定点（-1，2）在圆（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的内部或圆上，
∴（-1-a+1）²+（2+b-2）²≤25，
即a²+b²≤25②；
由①②得，3≤a≤4，
∴

1

4

≤

1

a

≤

1

3

，
∴

b

a

=

7-a

a

=

7

a

-1∈[

3

4

，

4

3

]；
故选：C．

点评：本题考查了直线与圆的方程以及函数与不等式的应用问题，是一道简单的综合试题．