Question

【题目】已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为

（1）求椭圆的方程；
（2）若A（0，1），设M，N是椭圆上异于点A的任意两点，且AM⊥AN，线段MN的中垂线l与x轴的交点为（m，0），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0），

可得a=2，e= = ，解得c= ，

b= =1，

即有椭圆的方程为 +y2=1；

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点的横坐标为 ，

由直线y=kx+t代入椭圆方程x2+4y2=4，可得

（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

△=64k2t2﹣16（1+4k2）（4t2﹣4）＞0，即1+4k2＞t2，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

可得MN的中点坐标为（﹣ ， ），

中垂线方程为y﹣ =﹣ （x﹣ ），

令y=0，可得x=m=﹣ ，

由AM⊥AN，可得 =﹣1，

即为（1+k2）x1x2+（t﹣1）2+k（t﹣1）（x1+x2）=0，

化为（1+k2）（4t2﹣4）+（t﹣1）2（1+4k2）+4（t﹣1）（﹣8kt）=0，

解得t=1或﹣ ，显然满足判别式大于0．

即有m=﹣ 或 ，

当k=0时，m=0；

当k＞0时，m= ≥﹣ =﹣ ，即为﹣ ≤m＜0；

或m= = ≤ = ，即为0＜m≤ ；

同样当k＜0时，可得0＜m≤ 或﹣ ≤m＜0．

综上可得m的范围是[﹣ ， ]∪[﹣ ， ]

【解析】（1）设椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0），运用离心率公式，以及a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），MN的中点的横坐标为 ，由直线y=kx+t代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，运用判别式大于0和韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，由基本不等式可得最值，进而得到所求范围．