Question

证明下列各不等式：

(1)≥2(a、b∈R⁺)；

(2)≤－2(a与b异号)；

(3)tanθ+cotθ≥2(θ为锐角)；

(4)已知x、y均为正数且2x+6y=1，求证≥8+4.

Answer 1

证明：(1)∵a、b均为正数，

∴与都为正数.

∴≥2，

即≥2，当a=b时，等号成立.

(2)∵a与b异号，∴与都是负数.

∴(－)+(－)≥2=2.

∴≤－2.

当a=－b时，等号成立.

(3)∵θ为锐角，∴tanθ与cotθ都为正数.

∴tanθ+cotθ≥2=2，

即tanθ+cotθ≥2.

当tanθ=cotθ，即θ=时，等号成立.

(4)∵x、y均为正数，且2x+6y=1，

∴≥8+2.

当时，即3y²=x²时，等号成立，

即≥8+4.

点评：在用基本不等式≥时，应注意条件a＞0，b＞0.当a、b为负数时，≤－.