题目内容

已知函数f（x）=1-2sin2
x
2
+sinx，若x0∈（
π
4
，
3π
4
），且f（x0）
3
2
5
，则f（x0+
π
3
）=
3
2
-4
6
10
3
2
-4
6
10
．
分析：把函数解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，由f（x0）的值，得到sinx0+cosx0的值，利用同角三角函数间的基本关系变形可得出sinx0-cosx0的值，两者联立求出sinx0和cosx0的值，然后把所求式子中的自变量的值代入化简后的解析式中，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将求出sinx0和cosx0的值代入即可求出值．
解答：解：函数f（x）=1-2sin2
x
2
+sinx
=cosx+sinx，又f（x0）=
3
2
5
，
化简得：sinx0+cosx0=
3
2
5
①，又sin2x0+cos2x0=1，
∴（sinx0+cosx0）2=sin2x0+2sinx0cosx0+cos2x0=
18
25
，
即2sinx0cosx0=-
7
25
，
∴（sinx0-cosx0）2=sin2x0-2sinx0cosx0+cos2x0=1+
7
25
=
32
25
，
∵x0∈（
π
4
，
3π
4
），∴sinx0＞cosx0，
∴sinx0-cosx0=
4
2
5
②，
联立①②解得：sinx0=
7
2
10
，cosx0=-
2
10
，
则f（x0+
π
3
）=cos（x0+
π
3
）+sin（x0+
π
3
）
=
1+
3
2
cosx0+
1-
3
2
sinx0
=
3
2
-4
6
10
．
故答案为：
3
2
-4
6
10
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系的运用，两角和与差的正弦、余弦函数公式，函数的值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式，灵活运用基本关系是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（　　）
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)
已知函数f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，则f[f（π）]=（　　）
已知函数f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．
已知函数f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，则下列结论中正确的是（　　）
已知函数f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），满足f（9）=3，则f-1（log92）的值是（　　）

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