Question

已知f（x）=3ax²+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数．
（1）求a，b的值；
（2）讨论g（x）=f（x）+

2

x

的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用函数为偶函数，所以定义域关于原点对称，然后利用偶函数的定义，得到a，b的值．
（2）利用导数研究函数的单调性．

解答：解：（1）因为f（x）=3ax²+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数．
所以a-1+2a=0解得a=

1

3

，
此时函数f（x）=x²+bx．
因为f（x）=x²+bx是偶函数，所以f（-x）=f（x），
即f（-x）=x²-bx=x²+bx，所以-b=b，解得b=0．
（2）f（x）=x²，函数的定义域为[-

2

3

，

2

3

]且x≠0．所以g（x）=f（x）+

2

x

=x2+

2

x

，
所以g′(x)=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

，由g′(x)=

2(x3-1)

x2

＞0，解得x＞1，此时无解．
由g′(x)=

2(x3-1)

x2

＜0，解得x＜1，所以此时x∈[-

2

3

，0)∪(0.

2

3

]，所以函数在[-

2

3

，0)和（0，

2

3

]上都为减函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，以及函数单调性的判断．