Question

（14分）已知等比数列的前项和为，且是与2的等差中项，
等差数列中，，点在直线上．
⑴求和的值；
⑵求数列的通项和；
⑶ 设，求数列的前n项和．

Answer 1

（1）a₂="4" ；  （2b_n=2n-1；  （3）T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6     

本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解哦数列求和的综合运用。
（1） a_n是S_n与2的等差中项
∴S_n=2a_n-2            ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
进而得到第二项的值。对于又S_n—S_n-1=a_n，
∴a_n=2a_n-2a_n-1∴，即数列{a_n}是等比数据列
以及∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0得到数列的通项公式。
（2）由上可知，c_n=(2n-1)2ⁿ
利用错位相减法可知得到数列的和的求解。
解：（1）∵a_n是S_n与2的等差中项
∴S_n=2a_n-2        ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4          ……3分
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n—S_n-1=a_n，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴，即数列{a_n}是等比树立∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ
∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，             ……8分
（3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ
∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹
因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6                                                  ……14分