题目内容
(2007
·广东)设
，
是
(a，b∈R，a＞0)的两个极值点，f(x)的导函数是
．
(1)
如果
，求证：
；
(2)
如果
，
，求b的取值范围；
(3)
如果a≥2，且
，x∈(
，
)时，函数
的最小值为h(a)，求h(a)的最大值．
答案：略
解析：
解析：
|
(1)  是方程 的两个根．
由  且a＞0得
①×(－ 3)＋②得4a－2b＞0．∴ 
(2) 由第(1)问知
由  ，两式相除得
 ．
①当 
时，由 ，
∴  ，即 ．
∴  ， ∈(0，2)．
令函数  ，∵x＞0，则 ，
∴ φ(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴当 ∈(0，2)时， ，即 ．
②当  时， ∴ ，即 ．
∴  ，∈(－2，0)．
令函数  ，若x＜0则同理可证φ(x)在(－∞，0)上是增函数．
∴当 ∈(－2，0)时， ．
综①②所述， b的取值范围是 ．
(3 )∵的两个根是，，
∴可设  ．
∴ 
∴  ．
令  ，∵a≥2，∴ ．
由题意知  时，g(x)取最小值
∴ 
∴  ．
令  ，
∴  ．
∴  ．
由题意知 a=2时，h(a)取最大值且等于 ． |
,
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