题目内容

已知某企业的原有产品每年投入x万元，可获得的年利润表示为函数：P(x)=-

(x-30)2+20（万元）．现准备开发一个回报率高，科技含量高的新产品从“十一五”计划（此计划历时5年）的第一年开始，用两年的时间完成．这两年，每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发，从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入．经预测，新产品每年投入x万元，可获得的年利润表示为函数：Q(x)=-

(100-x)2+48(100-x)（万元）．
（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1000万元，年利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元？
（2）从新产品投入生产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使后三年的年利润最大？
（3）从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来，能否还清对银行的欠款？

分析：（1）由于年利率为5.5%，且不计复利，故可求所还利息，从而可求第五年底一次性向银行偿还的本息；
（2）设从第三年起每年旧产品投入x万元，新产品投入100-x万元，则旧产品投入的年利润为P(x)=[-

(x-30)2+20]，新产品投入的年利润为Q(100-x)=[-

(100-100+x)2+48(100-100+x)]
从而可表达每年的年利润；
（3）因为P（x）在（0，30）上为增函数，所以可计算前两年利润、后三年利润，进而可以解决问题．

解答：解：（1）1000+1000×5.5%×5=1275（万元）--（5分）
（2）设从第三年起每年旧产品投入x万元，新产品投入100-x万元，--（7分）
则每年的年利润y=P(x)+Q(100-x)=[-

(x-30)2+20]+[-

(100-100+x)2+48(100-100+x)]
=-（x-27）²+659．--（10分）
所以投入旧产品27万元，投入新产品73万元时，每年可获最大利润659万元．--（12分）
（3）因为P（x）在（0，30）上为增函数，
所以前两年利润为y₁=2P（20）=20（万元）
后三年利润y₂=3[P（27）+Q（73）]=3×659=1977（万元）--（15分）
由（20+1977）×70%=1397.9＞1275，故能还清对银行的欠款．--（17分）

点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查函数模型的建立，同时利用函数模型解决实际问题，属于中档题．