题目内容

已知某企业的原有产品,每年投入x万元,可获得的年利润可表示为函数:P(x)=-·(x-30)2+8(万元).现开发一个回报率高、科技含量高的新产品,据预测,新产品每年投入x万元,可获得年利润Q(x)=-(100-x)2+(100-x)(万元).新产品开发从“十五”计划的第一年开始,用两年时间完成.这两年,每年从100万元的生产准备金中,拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.

(1)为了解决资金缺口,第一年初向银行贷款1 000万元,利率为5.5%(不计复利),第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元?

(2)从新产品投产的第三年开始,从100万元的生产准备金中,新旧两种产品各应投入多少万元,才能使年利润最大?

(3)从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来,能否还清对银行的欠款?

解析:(1)五年利息是1 000×0.055×5=275(万元),本利和为1 275万元.

(2)设从第三年年初起每年旧产品投入x万元,新产品投入(100-x)万元,于是每年的利润是W=P(x)+Q(100-x)=[-(x-30)2+8]+{-[100-(100-x)]2+[100-(100-x)]}=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.

    ∴投入旧产品26万元,新产品74万元时,每年可获得最大的利润,最大利润是675万元.

    (3)因为P(x)在(0,30]上是增函数,所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外,剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是,头2年的利润是W1=2×P(20)=14(万元);后3年的利润是W2=3×[P(26)+Q(74)]=3×675=2 025(万元),故5年的总利润是W=W1+W2=2 039万元,又2 039×70%=1 427.3>1 275,所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来,能够还清对银行的欠款.

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