题目内容
已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-
·（x-30）2+8（万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得年利润Q（x）=-
（100-x）2+
(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1 000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？
（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？
（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来，能否还清对银行的欠款？
解析：（1）五年利息是1 000×0.055×5=275（万元），本利和为1 275万元.
（2）设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）2+8］+{-［100-(100-x)］2+［100-(100-x)］}=(-
x2+
x-1)+(-
x2+
x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.
∴投入旧产品26万元，新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元.
（3）因为P（x）在（0，30］上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W1=2×P（20）=14（万元）；后3年的利润是W2=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2 025（万元），故5年的总利润是W=W1+W2=2 039万元，又2 039×70%=1 427.3＞1 275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.
练习册系列答案
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（万元）．现准备开发一个回报率高，科技含量高的新产品从“十一五”计划（此计划历时5年）的第一年开始，用两年的时间完成．这两年，每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发，从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入．经预测，新产品每年投入x万元，可获得的年利润表示为函数：
（万元）．
（万元）．现准备开发一个回报率高，科技含量高的新产品从“十一五”计划（此计划历时5年）的第一年开始，用两年的时间完成．这两年，每年从100万元的生产准备金中拿出80万元投入新产品的开发，从第三年开始这100万元就可全部用于新旧两种产品的生产投入．经预测，新产品每年投入x万元，可获得的年利润表示为函数：
（万元）．