Question

（2013•唐山一模）已知等比数列{a_n}满足a1a2=-

1

3

，a3=

1

9

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

，求数列{

bn

an

}的前n项的和．

Answer 1

分析：（I）利用等比数列的通项公式及已知即可解得a₁及q，即可得到a_n；
（II）对于b_n提取n+1，再利用裂项求和即可得出b_n，即可得到

bn

an

=n•（-3）^n-1．再利用错位相减法及等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设a_n=a₁q^n-1，依题意，有

a1•a1q=- 1 3 a1q2= 1 9

解得a₁=1，q=-

1

3

．
∴a_n=（-

1

3

）^n-1．
（Ⅱ）b_n=

n+1

1×2

+

n+1

2×3

+…+

n+1

n(n+1)

=（n+1）[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=（n+1）[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=n．
∴

bn

an

=n•（-3）^n-1．
记数列{

bn

an

}的前n项的和为S_n，则
S_n=1+2×（-3）+3×（-3）²+…+n×（-3）^n-1，
-3S_n=-3+2×（-3）²+3×（-3）³+…+n×（-3）ⁿ，
两式相减，得
4S_n=1+（-3）+（-3）²+…+（-3）^n-1-n×（-3）ⁿ=

1-(-3)n

4

-n×（-3）ⁿ，
故S_n=

1-(4n+1)(-3)n

16

．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和、错位相减法是解题的关键．