Question

已知点A（0，2）和双曲线x2-

y2

4

=1．
（1）求过点A可作几条直线与双曲线有且只有一个公共点；
（2）当过点A的直线与双曲线有两个不同的公共点时，求直线的斜率的取值范围；
（3）当过点A的直线与双曲线没有公共点时，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，直线的斜率存在，设方程，代入双曲线方程，对二次项系数讨论，利用判别式，即可得到结论；
（2）利用4-k²≠0且△＞0，即可得到k的取值范围；
（3）利用4-k²≠0且△＜0，即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）由题意，直线的斜率存在，设方程为y=kx+2
代入双曲线方程，可得（4-k²）x²-4kx-8=0
①4-k²=0，即k=±2时，方程只有一个解，直线与双曲线有且只有一个公共点；
②4-k²≠0时，△=16k²+32（4-k²）=0，∴k=±2

2

，
∴过点A可作4条直线与双曲线有且只有一个公共点；
（2）由（1）知，4-k²≠0且△＞0，∴-2

2

＜k＜2

2

且k≠±2；
（3）由（1）知，4-k²≠0且△＜0，∴k＜-2

2

或k＞2

2

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．