Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=

1

2

AD=1．E为PD的中点．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求异面直线AB与PC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点F．连接EF，CF．由题设条件推导出EF∥PA，CF∥AB，得到面EFC∥面PAB，由此能够证明CE∥面PAB．
（2）由CF∥AB，知∠PCF为异面直线AB与PC所成的角，利用题设条件推导出CF⊥面PAD，由此能够求出异面直线AB与PC所成的角的正切值．

解答：解：（1）取AD的中点F．连接EF，CF．
∵PA⊥面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=

1

2

AD，E为PD的中点．
∴EF∥PA，CF∥AB，
∴面EFC∥面PAB，
所以CE∥面PAB．…（6分）
（2）∵CF∥AB，
∴∠PCF为异面直线AB与PC所成的角，
∵∠BAD=90°，CF∥AB，∴CF⊥AD，
∵PA⊥面ABCD，CF?平面ABCD，∴CF⊥PA，
又∵PA∩AD=A，∴CF⊥面PAD．
∵PA=AB=BC=

1

2

AD=1，
∴PF=

2

，CF=1，
∴在直角△PCF中，
tan∠PCF=

PF

CF

=

2

．
故异面直线AB与PC所成的角的正切值为

2

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．