Question

已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别满足：f（1+x）+f（1-x）=0，g（-x）=g（x），则下列函数中，一定为奇函数的是

1. A.
   y=f（x）•g（x）
2. B.
   y=f（x+1）•g（x）
3. C.
   y=f（x-1）•g（x）
4. D.
   y=f（x）•g（x-1）

Answer 1

B
分析：首先根据函数奇偶性的定义与性质，易得A、C、D各项中的函数均为非奇奇偶函数，再用奇偶性的定义证出B项中的函数是奇函数，即可得到本题的答案．
解答：A项当中，因为f（x）是非奇非偶函数，g（x）是偶函数，故y=f（x）•g（x）不是奇函数
C项当中，f（x-1）是非奇非偶函数，g（x）是偶函数，故y=f（x-1）•g（x）不是奇函数
D项当中，f（x）是非奇非偶函数，g（x-1）是非奇非偶函数，故y=f（x）•g（x-1）不是奇函数
接下来证明B项中的函数是奇函数
∵f（1+x）+f（1-x）=0，
∴f（1-x）=-f（1+x），可得函数y=f（x+1）是奇函数
记F（x）=f（x+1）•g（x），得F（-x）=f（-x+1）•g（-x）
∵f（1-x）=-f（1+x），g（-x）=g（x），
∴F（-x）=-f（1+x）•g（x）=-F（x），得F（x）是奇函数
因此y=f（x+1）•g（x）是奇函数．
故选：B
点评：本题给出两个抽象函数，要我们在由它们生成的函数中找出奇函数，着重考查了抽象函数的应用和函数奇偶性的定义与性质等知识，属于基础题．