Question

（2013•资阳二模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直线和平面平行的判定定理，只需要证明EF∥BD，即可证明EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，
∵AF=

1

4

AB．
∴F为AM的中点，
又QE为AA₁的中点，
∴EF∥A₁M，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为A₁B₁、AA₁的中点，
∴A₁D∥BM，且A₁D=BM，
则四边形A₁DBM为平行四边形，
∴A₁M∥BD，
∴EF∥BD，
又∵BD⊆平面BC₁D，EF?平面BC₁D，
∴EF∥平面BC₁D．
（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图空间直角坐标系，
则B（1，0，0），E（-1，0，1），D（0，0，2），C₁（0，

3

，2），
∴

BD

=（-1，0，2），

BE

=（-2，0，1），

BC1

=（-1，

3

，2）．
设面BC₁D的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)，面BC₁E的一个法向量为

n

=(x2，y2，z2)，
则由

m ? BD =0 m ? BC1 =0

，
得

-x1+2z1=0 -x1+ 3 y1+2z1=0

，取

m

=(2，0，1)，
又由

n ? BE =0 n ? BC1 =0

，
得

-2x2+z2=0 -x2+ 3 y2+2z1=0

，取

n

=(1，-

3

，2)，
则cos＜

m

，

n

＞=

m ? n

|m| |n|

=

4

5 ? 8

=

10

5

，
故二面角E-BC₁-D的余弦值为

10

5

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求熟练掌握相应的判定定理．建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．