Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，△PAB是等边三角形，侧面PAB⊥底面ABCD   
（Ⅰ）证明：BC⊥面PAB    
（Ⅱ）求侧棱PC与底面ABCD所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面与平面垂直的性质定理，结合已知可证得BC⊥侧面PAB；
（Ⅱ）在侧面PAB内，过点P做PE⊥AB．垂足为E，连接EC，根据线面所成角的定义可知∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角，在Rt△PEC中，求出此角即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵侧面PAB垂直于底面ABCD，
且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，
在矩形ABCD中，BC⊥AB，
∴BC⊥侧面PAB．（5分）
解：（Ⅱ）在侧面PAB内，过点P做PE⊥AB．垂足为E，连接EC，
∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，PE⊥AB．
∴PE⊥底面ABCD．于是EC为PC在底面ABCD内的射影，（8分）
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角，（10分）
在△PAB和△BEC中，易求得PE=

3

，
在Rt△PEC中，∠PCE=45°（12分）
故所求线面角为45°

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定和直线与平面所成的角，属于基础题．