题目内容

设数列{an}的前n项的和Sn=an-×2n+1+,n=1,2,3, ….

（Ⅰ）求首项a1与通项an；

（Ⅱ）设Tn=，n=1,2,3, ….证明：.

思路分析：在第二步中,Tn=,用到了裂项法，这样最后再用放缩法证明等式成立，.

证明：(Ⅰ)由Sn=an-×2n+1+,n=1,2,3，…,①

得a1=S1=a1-×4+，所以a1=2.

再由①有Sn-1=an-1-×2n+,n=2,3，4,…,②

将①和②相减得:an=Sn-Sn-1=(an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3,…

整理得:an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n-2n,n=1,2,3,…

(Ⅱ)将an=4n-2n代入①得,Sn=×(4n-2n)-×2n+1+=×(2n+1-1)(2n+1-2)

=×(2n+1-1)(2n-1)；

Tn=,

所以,.

练习册系列答案
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设数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=3n+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an（2n-1），求数列{bn}的前n项的和．
设数列an的前n项的和为Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求数列an的通项公式；
（3）设bn=(2log
3
2
an+1)•an，求数列bn的前n项的和Tn．
设数列{an}的前n项和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的关系式；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．
不等式组
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面区域为Dn，若Dn内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为an（n∈N*）
（1）写出an+1与an的关系（只需给出结果，不需要过程），
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列an的前n项和为Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若对一切的正整数n，总有Tn≤m成立，求m的范围．
（2013•郑州一模）设数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则
S4
a3
的值为（　　）

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