Question

（2006•西城区一模）已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，以C的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为

（x-

5

）²+y²=1

，定点（3，0）与C上动点距离的最小值为

2

5

5

．

Answer 1

分析：①利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离、圆的标准方程即可得出；
②利用两点间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．

解答：解：①双曲线C：

x2

4

-y2=1，∴a²=4，b²=1，∴c=

a2+b2

=

5

，∴C的右焦点为（

5

，0），其渐近线方程为y=±

1

2

x．
右焦点（

5

，0）到其渐近线的距离d=

5

5

=1．
∴以C的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为(x-

5

)2+y2=1．
②设点P（x，y）（x≥2或x≤-2）为双曲线C：

x2

4

-y2=1上的一个动点，则y2=

x2

4

-1．
∴定点（3，0）与C上动点P的距离d=

(x-3)2+y2

=

(x-3)2+ 1 4 x2-1

=

5 4 (x- 12 5 )2+ 4 5

≥

4 5

=

2 5

5

，当且仅当x=

12

5

，y2=

11

25

时取等号．
∴定点（3，0）与C上动点距离的最小值为

2 5

5

．
故答案分别为(x-

5

)2+y2=1，

2 5

5

．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离、圆的标准方程、两点间的距离公式、二次函数的单调性等是解题的关键．