题目内容

．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中真命题是

A．若总有成立，则数列是等差数列
B．若总有成立，则数列是等比数列
C．若总有成立，则数列是等差数列
D．若总有成立，则数列是等比数列

A

解析

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已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1且Sn=
1
2
anan+1(n∈N*)．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求证：对任意n∈N*，
1
2
≤
1
a1
-
1
a2
+
1
a3
-
1
a4
+
1
a5
-
1
a6
+…+
1
a2n-1
-
1
a2n
＜
2
2
．
已知各项均不为零的数列{an}，定义向量
cn
=(an，an+1)，
bn
=(n，n+1)，n∈N*．下列命题中真命题是（　　）
A、若?n∈N*总有
cn
∥
bn
成立，则数列{an}是等差数列
B、若?n∈N*总有
cn
∥
bn
成立，则数列{an}是等比数列
C、若?n∈N*总有
cn
⊥
bn
成立，则数列{an}是等差数列
D、若?n∈N*总有
cn
⊥
bn
成立，则数列{an}是等比数列
已知各项均不为零的数列{an}，定义向量
c
=（an，an+1），
b
=（n，n+1），n∈N+．下列命题中为真命题的是（　　）
（2013•绵阳二模）已知各项均不为零的数列{an}的首项a1=
3
4
，2an+1an=kan-an+1n∈N+，k是不等于1的正常数）．
（I ）试问数列{
1
an
-
2
k-1
}是否成等比数列，请说明理由；
（II）当k=3时，比较an与
3n+4
3n+5
的大小，请写出推理过程．
已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=c，2Sn=anan+1+r．
（1）若r=-6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设Pn=
a1
a1-a2
+
a1
a1-a2
+
a3
a3-a4
+…
a2n-1
a2n-1-a2n
，Qn=
a2
a2-a3
+ +
a4
a4-a5
+…
a2n
a2n-a2n+1
，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式-n＜Pn-Qn＜n2+n恒成立．

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