Question

如图所示的树形图形中，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成135°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；……重复前面的作法作图至第层．设树形图的第层的最高点到水平线的距离为第层树形图的高度．

(1)求第三层及第四层树形图的高度H₃，H₄；

(2)求第层树形图的高度；

(3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”．显然，当=1，2时，树形图是“矮小”的．是否存在m∈Z，使得当时，该树形图是“高大”的?

Answer 1

解：(1)设题中树形图(从上而下)新生的各层高度所构成的数列为{}，

则，

       所以，第三层树形图的高度

       第四层树形图的高度．

       (2)易知，所以第层树形图的高度为

       所以，当为奇数时，第层树形图的高度为

        

      =；

       当为偶数时，第层树形图的高度为

      

     =

(3)不存在．

由(2)知，当为奇数时，

；

当为偶数时，

，

由定义知，此树形图永远是“矮小”的．所以不存在m∈Z．使得当时，

该树形图是“高大”的．