Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）其中λ为实数，n为正整数．
（1）对于任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）若存在实数λ，使得数列数列{a_n}是等比数列，则必有

a

2 2

=a1a3，否则不为等比数列；
（2）若存在实数λ使得数列{b_n}是等比数列，证明

bn+1

bn

=常数即可．

解答：解：（1）若存在实数λ，使得数列数列{a_n}是等比数列，则必有

a

2 2

=a1a3，∵a₁=λ，∴a2=

2

3

λ-3，a3=

2

3

(

2

3

λ-3)-2=

4

9

λ-4．
由(

2

3

λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)，化为9=0，矛盾．故假设错误，因此对于任意实数λ，数列{a_n}不是等比数列；
（2）若存在实数λ使得数列{b_n}是等比数列，则

bn+1

bn

=常数．
∵bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(

2

3

an+n-4-3n+18)=

2

3

(-1)n+1(an-3n+21)=-

2

3

bn，
当且仅当a_n≠3n-21，即λ≠-18时上式成立．
因此当λ≠-18时，

bn+1

bn

=-

2

3

为常数，数列{b_n}是等比数列．

点评：熟练掌握证明或否定一个数列是否是等比数列的方法是解题的关键．