Question

已知a＞0，b＞0，c＞0，证明三个数

ab+1

b

 ， 

bc+1

c

 ， 

ca+1

a

中至少有一个不小于2．

Answer 1

分析：假设三个数

ab+1

b

 ， 

bc+1

c

 ， 

ca+1

a

都小于2，利用不等式的性质求得a+

1

a

+b+

1

b

+c+

1

c

＜6 ①．再利用基本不等式求得a+

1

a

+b+

1

b

+c+

1

c

≥6 ②，这与①矛盾，故鸡舍不正确，命题得证．

解答：解：假设三个数

ab+1

b

 ， 

bc+1

c

 ， 

ca+1

a

都小于2，
即 

ab+1

b

＜2、

bc+1

c

＜2、

ca+1

a

＜2，
∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴ab+1＜2b，bc+1＜2c，ca+1＜2a，
∴a+

1

b

＜2，b+

1

c

＜2，c+

1

a

＜2，
∴a+

1

a

+b+

1

b

+c+

1

c

＜6 ①．
而由基本不等式可得，a+

1

a

≥2，b+

1

b

≥2，c+

1

c

≥2，∴a+

1

a

+b+

1

b

+c+

1

c

≥6 ②．
显然，①和②相矛盾，故假设不正确，故有三个数

ab+1

b

 ， 

bc+1

c

 ， 

ca+1

a

中至少有一个不小于2．

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，应先假设要证的命题的否定成立，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．