Question

已知数列{a_n}满足：a1=2，an+1=2-

1

an

，n=1，2，3，4，…．
（1）求证：数列{

1

an-1

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令Tn=

n

i=1

ai+1

ai

，证明：Tn＞n-

3

4

．

Answer 1

分析：本题考查了由数列{a_n}递推关系求通项公式，数列的求和以及运用“构造数列法”解题．
（1）这种证明实际上是在提示利用递推公式和构造数列的方式把非等差、等比数列转化成等差等比数列，为（2）中获取通项公式提供了方向，在此基础上可以先求得数列{

1

an-1

}的通项公式，进而即可得到数列{a_n}的通项公式；
对于（3）其含义是构造数列{

ai+1

ai

}并求其前n项的和，得出{

ai+1

ai

}的通项公式后就可发现，可以用裂项求和的方式．

解答：（1）证明：∵an+1=2-

1

an

，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

2- 1 an -1

-

1

an-1

=

an

an-1

-

1

an-1

=

an-1

an-1

=1．
∴数列{

1

an-1

}为等差数列．
（2）由（1）得，{

1

an-1

}为等差数列，公差为1，首项为

1

2-1

=1．
∴

1

an-1

=1+(n-1)=n．∴an=1+

1

n

=

n+1

n

．
（3）∵an+1=

n+2

n+1

，∴

an+1

an

=

n(n+2)

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

．
∴Tn=n-[

1

22

+

1

32

+

1

42

++

1

(n+1)2

]．
当n≥2时，Tn＞n-[

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

]=n-

3

4

+

1

n+1

＞n-

3

4

.
当n=1时，T1=1-

1

22

=

3

4

＞1-

3

4

.综上所述：Tn＞n-

3

4

．

点评：递推数列问题成为高考的热点问题，对于由递推公式所确定的数列通项公式问题，通常可以对递推公式变形转化成等差或等比数列，解答此类问题通常用构造法，及构造数列的方法，为减缓难度，题目一般给出台阶，比如本题的（1）；
本题（3）同样是给出了一种构造方式，其目的是为了考查裂项求和，注意当n≥2时，

an+1

an

=

n(n+2)

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

＞1-

1

n(n+1)

=1-（

1

n

-

1

n+1

）的解题思路．