Question

已知f（x）=ax²+bx（a＞0，b＞0）．
（1）若f（2）=4，求ab的最大值；
（2）若f（1）＜4，f（-1）＞2，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=4，得到4a+2b=4，然后利用基本不等式求ab的最大值．
（2）利用f（1）＜4，f（-1）＞2，得到不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求a²+b²的取值范围．

解答：解：（1）∵f（2）=4，∴4a+2b=4，
即2a+b=2，
∵a＞0，b＞0，
∴2=2a+b≥2

2ab

，解得ab≤

1

2

，当且仅当2a=b=1，即a=

1

2

，b=1时取等号，
∴ab的最大值是

1

2

．
（2）若f（1）＜4，f（-1）＞2，
则

a+b＜4 a-b＞2 a＞0，b＞0

，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
设z=x²+y²，则z的几何意义为平面区域内的点到原点距离的平方的取值范围．则当a=0时，b=4，即A（0，4）．
由图象可知z的最小值为0，A点到原点的距离最大为OA=4，0＜z＜4²，即0＜z＜16，
即x²+y²的取值范围是（0，16）．

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．