题目内容
（2013•武汉模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-
，满足Sn+
+2=an（n≥2）．则
（Ⅰ）S3=
（Ⅱ）Sn=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| Sn |
（Ⅰ）S3=
-
| 4 |
| 5 |
-
；| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）Sn=
-
| n+1 |
| n+2 |
-
．| n+1 |
| n+2 |
分析：由于a1=-
，满足Sn+
+2=an（n≥2）．分别令n=2，3即可解出S2，S3．进而猜想Sn，利用数学归纳法即可证明．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| Sn |
解答：解：由于a1=-
，满足Sn+
+2=an（n≥2）．
令n=2，则S2+
+2=a2，化为a1+
+2=0，
∴-
+
+2=0．
解得S2=-
．
令n=3，S3+
+2=a3，化为S2+
+2=0，即-
+
+2=0．
解得S3=-
．
猜想：Sn=-
．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，S1=-
，所以命题成立．
（2）假设n=k时命题成立，即Sk=-
，
由Sk+1+
+2=ak+1 =Sk+1-Sk，
Sk+1=-
=-
=-
．
这说明了n=k+1时，命题也成立．
由（1），（2）可得，对任意的正整数n命题都成立．
故答案为（Ⅰ）S3=-
；（Ⅱ）Sn=-
．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| Sn |
令n=2，则S2+
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| S2 |
∴-
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| S2 |
解得S2=-
| 3 |
| 4 |
令n=3，S3+
| 1 |
| S3 |
| 1 |
| S3 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| S3 |
解得S3=-
| 4 |
| 5 |
猜想：Sn=-
| n+1 |
| n+2 |
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，S1=-
| 2 |
| 3 |
（2）假设n=k时命题成立，即Sk=-
| k+1 |
| k+2 |
由Sk+1+
| 1 |
| Sk+1 |
Sk+1=-
| 1 |
| SK+2 |
| k+2 |
| k+3 |
| (k+1)+1 |
| (k+1)+2 |
这说明了n=k+1时，命题也成立．
由（1），（2）可得，对任意的正整数n命题都成立．
故答案为（Ⅰ）S3=-
| 4 |
| 5 |
| n+1 |
| n+2 |
点评：本题考查了通过递推式求出前几项猜想出通项公式并数学归纳法加以证明的思想方法，属于难题．
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